Repetitor.Biniko.com
   Образовательный портал


Бесплатный каталог репетиторов
Новости   Профессии   Блоги
Вопросы и ответы   Форум
On-line тестирование






 
Главная
Поиск
Новости
Статьи
Профессии
ЕГЭ - Россия
ВНТ - Украина
ЕНТ - Казахстан
ЦТ - Беларусь
Блоги
Репетиторы
Вопросы и ответы
On-line тестирование
Форум

 




Регистрация:

  Учителя
  Учащиеся
Логин:    Пароль:   


Блоги

Категория: Физика

38. Неравенство Клаузиуса в общем виде

38. Неравенство Клаузиуса в общем виде



1. Обобщим теперь неравенство (37.2) на случай произвольного числа тепловых резервуаров Rlt Р2, Rn. Резервуары должны быть достаточно велики (в пределе бесконечно велики), чтобы в ходе тепло-обмена их температуры Т1г То, Тп оставались практически постоянными. Пусть какая-либо термодинамическая система (назовем ее по-прежнему системой I) совершила произвольный

круговой процесс — обратимый ^

или необратимый, в ходе кото- Qt / f &

рого она заимствовала от тепловых резервуаров теплоты Qlt Q2> Qn и за их счет произвела эквивалентную работу Qx + + Q2 + ... + Qn (рис. 28).

4





После того как указанный

круговой процесс закончился,

теплоизолируем систему I. Возь-

мем вспомогательный тепловой

резервуар R0 настолько боль-

шой, что в процессе теплообмена

его температура Т0 практически

не меняется. Возьмем, кроме

того, п идеальных машин Карно

и включим их между вспомога-

тельным резервуаром R„ и ре-

зервуарами R±, R„, Rn. Та-

ким образом, i-я машина будет Рис. 28.

совершать цикл Карно между

резервуарами Р„ и Р,- (i = 1,2, ...,м). Не имеет значения, совершаются ли все эти п циклов Карно одновременно, последовательно, пли с произвольным наложением друг на друга. Пусть в результате своего цикла i-я машина Карно забирает от резервуара Р0 тепло Q,,, а от резервуара Rt — тепло Q}. На основании теоремы Карно н определения абсолютной температуры

%L + |i = 0. (38.1)

0 1 i

Суммируя по i, находим общее количество тепла Q0, отданное вспо-могательным резервуаром:







Все п циклов Карно можно объединить с круговым процессом, ранее совершенным системой I, в один сложный круговой процесс. В результате такого процесса

резервуар R0 отдал тепло Q0; резервуар Rx отдал тепло Qx + QU

(38.2)

резервуар R„ отдал тепло Q„-f-Cj,,;

совершена работа А = С?0 + (Qx + Qi) + - - + (Q + Q)-

Дальнейшие рассуждения построим на постулате Томсона — Планка. Выберем величины Q, Q,, ... так, чтобы (Qx +Q,) -- ... — (Qn + Qi) — 0. Это всегда возможно, так как тепловые резервуары Rlf R2, ... , R„ предполагаются достаточно большими. В результате все тепловые резервуары вернутся в свои исходные состояния. Вспомогательный резервуар R0 отдаст тепло

п

Qo = Toy^-. (38.3)



Получился круговой процесс, совершенный системой I и п машинами Карно, в результате которого

резервуар R0 отдал тепло Q0, совершена эквивалентная работа A=Q0.

Больше никаких изменений не произошло. Произведенная работа А — Q0 не может быть положительной, так как в противоположном случае получилось бы противоречие с постулатом Томсона — Планка. Таким образом, должно быть Q0 ^ 0, илн, учитывая (38.3) и положительность абсолютной температуры 7„,



О



(38.4)



НЕРАВЕНСТВО КЛАУЗИУСА В ОСЩЕМ ВИДЕ



121











4. При окончательной формулировке неравенства (38.5) нет не-обходимости вводить какие-то тепловые резервуары Rlt R2, R„, с которыми система I обменивается теплом. Лучше пользоваться представлением о теплообмене между системой I и окружающей средой. Тогда величина Т будет означать температуру этой среды и может меняться как в пространстве, так и во времени. Надо мысленно представить себе, что окружающая среда разделена на малые области, каждая из которых характеризуется определенной, вообще говоря, переменной температурой. Символ SQ означает бесконечно малое количество тепла, переданное системе I одной или несколькими из таких областей при температуре Т. Кружок у знака интеграла должен напоминать, что неравенство (38.5) относится к круговому процессу, совершенному рассматриваемой системой I.

5. Отметим еще, почему при доказательстве был введен вспомогательный тепловой резервуар R0. Это было сделано для того, чтобы иметь в распоряжении неограниченный источник внутренней энергии, из которого можно было бы черпать или которому можно было бы передавать ничем не ограниченное коли-чество тепла. Если бы один из тепловых резервуаров Rlt R2, ... , например первый, обладал неограниченным запасом внутренней энергии, то надобности во вспомогательном резервуаре R0 не было бы. Его функции можно было бы возло-жить на резервуар Ry. Поскольку в общем случае дело обстоит не так, то и потре-бовался резервуар R0. Таким образом, для доказательства существенно, чтобы резервуар R0 был бесконечно большим. Выбор резервуара R0 не может сказаться на окончательном результате, в который резервуар R0 не входит вообще.

6. Применим неравенство (38.5) к уточнению вопроса о верхнем пределе коэффициента полезного действия тепловых машин, который уже разбирайся в конце предыдущего параграфа. Как и там, удобно вернуться к прежнему правилу знаков. Элементарное количество тепла условимся обозначать символом bQlt если машина его получает. Элементарное же количество тепла, отдаваемое машиной, будем обозначать символом SQ2. Таким образом, по определению величины 6Q, и bQ2 существенно положительны. В этих обозначениях неравенство Клаузиуса запишется в виде







Здесь Ту — температура той части окружающей среды, от которой машина получает тепло bQx — эта часть среды играет роль нагревателя. Величина Т2 есть температура холодильника, т. е. части окружающей среды, которой машина отдает тепло 6Q2. В отличие от случая, разобранного в предыдущем параграфе, теперь предполагается, что температуры нагревателя и холодильника не остаются постоянными, а меняются в ходе процесса. Пусть Г1макс и Г2шш означают соответственно максимальную температуру нагревателя и минимальную температуру холодильника. Предыдущее неравенство будет только усилено, если величины Тх и 72 заменить на Т1иакс и Т2щш.



Следовательно,

С CQi f ДО

J Ti макс J Т2 мин

Отсюда



Q2



;о.





где Qt — полное тепло, полученное машиной от нагревателя за время кругового процесса, a Q2 — полное тепло, отданное холодильнику. Переписав последнее неравенство в виде

Q2 т2 мин

Ql Тхиакс

а затем прибавив к обеим частям по единице, получим

„ Qi Qa Ti мгкс т2мин /оо с

Г)= ■ v TJ, . 6Ъ.Ь)

VI 1 макс

Этим неравенством и определяется верхний предел для коэффициента полезного действия тепловой машины и.

ЗАДАЧА

Доказать неравенство Клаузиуса с помощью постулата Клаузиуса.

Доказательство. До соотношений (38.2) включительно рассуждения остаются прежними, а дальше должны быть изменены следующим образом. Наложим дополнительные условия Q2 + Q„ = ... = Q„ + Qn = 0 и A = Q„ +

+ (Qi + 01) + - + (Q + Qn) = °. или Qo = - (Qi + QD- Тогда получится круговой процесс, в результате которого

резервуар R0 отдал тепло Q0;

резервуар Rx получил тепло —(Q1 + Q1) = Q0.

Никаких других изменений не произошло. Найдем сначала переданное тепло Q0. При / = 1 из соотношений (38.1) получаем

Qoi Qo4-Qi

То П

а при i = 2, 3, ... , п

Qoi ^ Qf То Г|

Складывая эти равенства, находим

Q" = Y 9l ти Тх Li т-,

i=

Отсюда

о l£i У Qi-

Vo ГР / ГР Ш

1 X 7 0 ^ааи у £ 1=1

Если Г0 > Tit то должно быть Q„ Э= 0. Если жс Г„ < Г,, то наоборот, 0„ - 0. Иначе получилось бы противоречие с постулатом Клаузиуса. В обоих случаях мы приходим к неравенству (38.4).



Автор: Диков Александр Дата: 2010-05-17 00:59:30 Просмотров: 611


Комментарии отсутствуют


 

Добавить комментарий:


Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи

 

    Репетиторы, математика, русский язык, физика, сдать ЕГЭ, ЕГЭ 2012, тестирование ЕГЭ, ответы по ЕГЭ, репетитор, карта сайта,


    Все права защищены и принадлежат авторам размещающих материалы на сайте. Данный сайт ни какой ответственности за размещенный материал не несет. Копирование материалов возможна только с указанием URL ссылки на исходный материал.