Repetitor.Biniko.com
   Образовательный портал


Бесплатный каталог репетиторов
Новости   Профессии   Блоги
Вопросы и ответы   Форум
On-line тестирование






 
Главная
Поиск
Новости
Статьи
Профессии
ЕГЭ - Россия
ВНТ - Украина
ЕНТ - Казахстан
ЦТ - Беларусь
Блоги
Репетиторы
Вопросы и ответы
On-line тестирование
Форум

 




Регистрация:

  Учителя
  Учащиеся
Логин:    Пароль:   


Блоги

Категория: Физика

37. Неравенство Клаузиуса (для частного случая)

37. Неравенство Клаузиуса (для частного случая)



1. Из рассуждений, приведенных в § 30 для доказательства теоремы Карно, можно извлечь другое интересное следствие. Рассмотрим произвольную термодинамическую систему (назовем ее



§ 37J



НЕРАВЕНСТВО КЛАУЗИУСА



115



системой I), которая может обмениваться теплом с двумя тепловыми резервуарами Ry и R2. Температуры этих резервуаров обозначим через Ту и Т2, соответственно. Теперь мы не будем различать, какой резервуар является нагревателем, а какой — холодильником. Количество тепла, отданное тепловым резервуаром (т. е. полученное системой I), условимся считать положительным. В противоположном случае тепло считается отрицательным. Благодаря этому окончательные результаты формулируются симметрично относительно обоих резервуаров.

Пусть система I совершила произвольный круговой процесс — обратимый или необратимый, в котором она получила тепло Qy от резервуара Ry и тепло Q2 от резервуара R2. Так как система вернулась в исходное состояние, то полное тепло Qy + Q2, полученное ею, будет равно работе, которую она произвела. Возьмем теперь обратимую машину Карно и заставим ее работать между теми же тепловыми резервуарами Ry и R2. Для того чтобы наличие машины Карно никак не отразилось на количествах тепла Qy и Q2, получен-ных системой от тепловых резервуаров во время кругового процесса, можно присоединить машину Карно уже после того, как круговой процесс в системе I закончился. Если с этого момента теплоизолировать систему I, то тепловые резервуары Ry и R2 начнут обмениваться теплом только с машиной Карно. Наличие последней никак не скажется на ходе интересующего нас кругового процесса в системе I, поскольку этот процесс является событием прошлым по отношению к моменту присоединения машины Карно. Пусть сама машина Карно совершила круговой процесс, в ходе которого она заимствовала тепло Q от резервуара Ry и тепло Q2 — от резервуара R2. Для дальнейшего существенно, что машина Карно обратима. Ее можно заставить работать и как двигатель, и как холодильник. Кроме того, изотерма 12 (см. рис. 25) в цикле Карно может быть взята сколь угодно короткой. Следовательно, и работа, совершаемая машиной Карно в одном цикле, может быть как угодно малой. Можно получить и сколь угодно большую работу, заставив машину Карно совершить много одинаковых или различных циклов. Таким образом, машина Карно позволяет получать как положительную, так и отрицательную работу любой наперед заданной величины. Это обстоятельство делает возможным по произволу распорядиться одной из величин Q[ или Q2. Всегда можно достигнуть, чтобы одна из этих величин приняла произвольное значение, как положительное, так и отрицательное.

На основании теоремы Карно и определения абсолютной температуры можно написать



Ту



+ f = 0.

2



(37.1)



Объединим машину Карно и систему I в одну сложную систему.



Круговые процессы, последовательно совершенные системой I и машиной Карно, очевидно, также можно объединить в один общий круговой процесс. В этом процессе сложная система

получила от резервуара /?х тепло Qi + Qi.

получила от резервуара /?2 тепло Q2 + Q2,

совершила работу A = Qi + Qi +Q2 + Q2-

Дальнейшие рассуждения зависят от того, какой постулат второго начала термодинамики положить в их основу. Если воспользоваться постулатом Томсона — Планка, то надо рассуждать следующим образом. Подберем тепло Q[ так, чтобы Q[ = — Qx. Тогда ввиду соотношения (37.1)





В результате кругового процесса состояние резервуара Rx не изменится. Тепловой резервуар /?2 отдаст тепло

Q2 + Q2 = Q2 + T2 % =72

За счет этого тепла будет произведена эквивалентная работа А = Q.2 + Q2. Если бы эта работа была положительна, то получился бы процесс Томсона — Планка, что невозможно. Поэтому должно быть A =g 0. Так как абсолютная температура 72 существенно положительна, то это приводит к неравенству

|L+ |^0. (37.2)

Это неравенство является частным случаем более общего неравенства Клаузиуса, которое мы рассмотрим в следующем параграсре.

2. Соотношение (37.2) можно, конечно, получить и из постулата Клаузиуса. Для этого выберем величину Q{ так, чтобы А = Qj -|- Q[ -|- Q2+Qi = 0 или (d-|- QI) = —(Qs l Qi)- Тогда единственным результатом кругового процесса будет передача тепла (Q, -|- QJ) от резервуара R± к резервуару R2-Тепло Q[ можно найти из условия А = 0, если воспользоваться соотношением (37.1). Это дает



Определив отсюда QJ, находим дальше

л 4-0- ТТ lQl 4- <М

Если 7 > To, то согласно постулату Клаузиуса должно быть Qi + Q[ ? 0. Если же Т, <; То, то должно быть Qi + Q[ S 0. Так как абсолютные температуры существенно положительны, то в обоих случаях мы приходим к неравенству



3. Придадим неравенству Клаузиуса (37.2) другую форму, в которой отчетливее выявляется его связь с техническими проблемами. Вернемся к прежним обозначениям, которыми мы пользовались в 30. Пусть Ту — температура нагревателя, а Т2 — холодильника. Тепло Q„, как и ранее в § 30, будем считать положительным, если холодильник его получает. При таком выборе знаков





Отсюда легко получить

Ql Q-2 Ту Т2 /Q7 Qi

оГ"^ Ту ■ V-6

Слева стоит коэффициент полезного действия тепловой машины,

обозначавшийся ранее буквой т). В результате мы доказали следующую (вторую) теорему, принадлежащую Карно. Коэффициент полезного действия всякой тепловой машины не может превосходить коэффициент полезного действия идеальной машины, работающей по циклу Карно с теми же самыми температурами нагревателя и холодильника.

Эта теорема позволяет, таким образом, оценить верхний предел к. п. д. тепловой машины. Возьмем, например, паровую машину. Пусть максимальная температура пара в котле t± = 150 °С, температура холодильника t2 = 20 СС. В абсолютной шкале соответствующие температуры будут Ту = 423 К, Т2 — 293 К. К. п. д. такой машины не может превосходить

Ту-Т2 __130_30%<

Ту " 423

В действительности к. п. д. паровых машин значительно меньше.

Вторая теорема Карно ясно показывает, что энергия должна характеризоваться не только количественно, но и качественно. Под качеством энергии мы понимаем ее способность превращаться в другие виды энергии при заданных внешних условиях. Конечно, если на способы превращения не накладывать никаких ограничений, то внутренняя (тепловая) энергия может быть целиком затрачена на производство работы. В этом смысле теплота и работа эквивалентны между собой. Однако, если на внешние условия, в которых находится тело, наложить определенные ограничения, то полное превращение тепла в работу может стать невозможным. Например, невозможно полностью превратить тепло в работу при помощи периодически действующей тепловой машины. Для этого надо было бы располагать холодильником, температура которого равна абсолютному нулю. Поскольку такого холодильника нет, периодически действующая машина может превратить в работу только часть тепловой (внутренней) энергии тела. Чем выше температура тела, тем выше качество



запасенной в нем тепловой энергии. Всякий естественно идущий необратимый процесс приводит к обесценению энергии в указанном выше смысле. Обратный процесс, в котором качество энергии повышается, возможен только при наличии другого процесса, в котором энергия обесценивается. Этот другой процесс Клаузиус назвал компенсирующим процессом или, короче, компенсацией. Например, можно отнять тепло от холодильника и передать его нагревателю. Но для этого необходим компенсирующий процесс, скажем, производство работы.



ЗАДАЧИ

1. Какую максимальную работу можно получить из системы двух тел, нагретых до разных абсолютных температур Т10 и Т20 (Т10 > Т20), если эти тела используются в качестве нагревателя и холодильника в тепловой машине? Теп-лоемкости тел Cj и С2 считать не зависящими от температуры. Найти окончатель-ную температуру Т, которую будут иметь тела, когда установится тепловое рав-новесие между ними.

Решение. Максимальная работа получится тогда, когда тепловая машина работает последовательно повторяющимися бесконечно малыми циклами Карно. Пусть в результате одного из таких циклов первое тело отдало теплоту 6
-#- + # = 0, (37.4)



Сг^ + С^О.

I 1 1 2

Интегрируя это соотношение с учетом начальных условий, получим

TflTf = T^T^. (37.5)

Окончательная температура Т найдется из условия Ту — Т2 = Т. Оно дает

TCi + сг== тс, тс^ (37 6)

Максимальная работа, которую может совершить система,

т т

А = $ б А = - Су j dT - С2 j dT (СуТу + С2Т2) - (Су + С3) Т. (37.7)

Она равна убыли внутренней энергии системы.

2. Рассмотреть предельный случай предыдущей задачи, когда теплоемкость холодильника С2 бесконечно велика. (Нагретое тело, погруженное в бесконечную среду, температура которой Т20 поддерживается постоянной.)

Решение. Температура Т находится из (37.6) предельным переходом Q-^-oo, который дает Т = Т20. Этот результат непосредственно очевиден. Предельный переход в окончательном выражении (37.7) выполнить затрудни-тельно, так как оио приводит к неопределенности вида со — оэ. Удобнее выпол-нить предельный переход в выражении для элементарной работы ЬА — 6Qj + 8Q2.



Выразив 6Q2 через 8QX по формуле (37.4) и учтя, что Т2 = Г20 = const,

получим

т лт

bA=SQl—^,-^ = -C1dT1+C1TtD

1 1 (37.8)

А = С1 [T10-Tw-Twn-L^

1 20

Работа А меньше убыли внутренней энергии нагретого тела Сх (Tw — Т^). Часть внутренней энергии тело передает окружающей среде в виде тепла (ср. § 48).



Автор: Диков Александр Дата: 2010-05-17 00:58:58 Просмотров: 880


Комментарии отсутствуют


 

Добавить комментарий:


Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи

 

    Репетиторы, математика, русский язык, физика, сдать ЕГЭ, ЕГЭ 2012, тестирование ЕГЭ, ответы по ЕГЭ, репетитор, карта сайта,


    Все права защищены и принадлежат авторам размещающих материалы на сайте. Данный сайт ни какой ответственности за размещенный материал не несет. Копирование материалов возможна только с указанием URL ссылки на исходный материал.