Repetitor.Biniko.com
   Образовательный портал


Бесплатный каталог репетиторов
Новости   Профессии   Блоги
Вопросы и ответы   Форум
On-line тестирование






 
Главная
Поиск
Новости
Статьи
Профессии
ЕГЭ - Россия
ВНТ - Украина
ЕНТ - Казахстан
ЦТ - Беларусь
Блоги
Репетиторы
Вопросы и ответы
On-line тестирование
Форум

 




Регистрация:

  Учителя
  Учащиеся
Логин:    Пароль:   


Блоги

Категория: Физика

34. Примеры на применение теоремы Карно

34. Примеры на применение теоремы Карно



С помощью теоремы Карно можно получить много важных соотношений между физическими величинами, характеризующими систему в состоянии термодинамического равновесия. Для этого надо заставить систему надлежащим образом осуществить цикл Карно и применить к нему теорему Карно. Этот метод называется методом циклов. Поясним его на примерах.

1 пример. Рассмотрим физически однородное тело, состояние которого характеризуется двумя параметрами, например, Т и V. Внутренняя энергия такого тела есть однозначная функция тех же параметров: U = U (Т, V). Если известно термическое уравнение состояния / (Р, V, Т) = 0, то теорема Карно позволяет в общем виде решить вопрос о зависимости внутренней энергии U от объема. Этот вопрос мы и рассмотрим.

Будем изображать состояние тела точкой на диаграмме V, Р. Рассмотрим в плоскости V, Р семейство изотерм и семейство адиабат. Они разбивают эту плоскость на клетки, имеющие форму криволинейных четырехугольников (рис. 27, а). Если изотермы и адиабаты провести достаточно густо, то клетки будут сколь угодно мало отличаться от параллелограммов. Возьмем один из таких бесконечно малых параллелограммов 1234, изображенный на рисунке 27, б в увеличенном масштабе. Цикл 1234 есть цикл Карно. Обозначим абсолютную температуру на изотерме 12 через Tlf а на изотерме 34 — через Т2. Так как эти температуры бесконечно мало отличаются друг от друга, то индексы 1 и 2 будем опускать во всех соотношениях, в которые 7 и Т„ входят в виде множителей при бесконечно малых величинах. То же относится и к другим величинам, например Ply Р2, , V, и т. п. Работа Л, произведенная системой в результате цикла 1234, численно равна площади параллелограмма 1234. Чтобы вычислить ее, проведем прямые

16 н 25, параллельные оси давлений. Ясно, что искомая площадь равна площади параллелограмма 1256. Высота этого параллелограмма численно равна приращению V2 — Vx объема при изотермическом процессе 12. Основание же 61 дает приращение давления при повышении температуры на 7 — Т„, когда объем системы поддерживается постоянным. Оно равно (^)у(7Л — Т2). Для работы цикла, которая численно равна его площади, получаем

А-(%-)у(Т1-Т2)(У2-Уг).

Вычислим теперь количество тепла Qb отданное нагревателем на изотерме 12. По первому началу Qx = U2 — Ux + Р (V2 — V^.



p P X r

6

?%^ ! ^





V Ц Vz V

в) 6)

Рис. 27.

Так как на изотерме 12 температура постоянна, то U2 — Ux = " аг)г^2__ что дает

b=[[w)T+r](v-vj.

По теореме Карно

х = ь^т- (34Л)

Подставляя сюда значения Л и Q, найденные выше, получим

(342>

Эта формула и решает поставленную задачу.

2 пример. Формулу, аналогичную формуле (34.2), можно вывести и для энтальпии. Энтальпию / будем рассматривать как функцию температуры Т и давления Р. Преобразуем выражения для количества тепла Qx и работы Л. Очевидно

dl = d (V + Р V) = (dU + PdV) + VdP,

откуда на основании первого начала

dI = uQ+VdP,

"ли dQ = dI-VdP. (34.3)

Соотношение (34.3) также выражает первое начало термодинамики, но в иной форме. Пользуясь им, для тепла Сл получаем

Q1 = Ia-J1-V{Ps-Pl).

Так как на изотерме 12 температура постоянна, то L — /х =

= [&р)т(р-рд- ТАКИМ ОБРАЗОМ>

^ = [(эУг-у]^-^>-

Преобразуем теперь выражение для работы А. С этой целью вос-пользуемся тождеством (8.3):







а также соотношением

[dV)т

Тогд, полу,™ л__^г1п_т^Рл.

Подставляя величины Qx и А в формулу (34.1), находим искомое

соотношение: / gj „ / dV

RT

Р = -у-, и следовательно,

(w)T — T(w)P + V- (34-4)

Применим уравнение (34.2) к идеальному газу. В этом случае



дР RT

,дТ Jv V

После подстановки этих значений в формулу (34.2) получаем





Отсюда следует, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от объема, а является функцией только температуры. Это — закон Джоуля, который использовался нами ранее как эмпирический факт. Мы видим, что он является следствием уравнения Клапейрона

и второго начала термодинамики. Далее, из соотношения Cv = (jffj у

получаем

■dCv д dU

-Ж)т--дтЖ=°- <34-6)

Значит, теплоемкость Су идеального газа не зависит от объема, а может зависеть только от температуры.

Аналогичные соотношения получаются из уравнения (34.4). Именно,

9П. = 0, (34.7)

дР )т дСр

-afjr = 0- (34-8)

Отсюда видно, что энтальпия идеального газа и его теплоемкость СР являются функциями одной только температуры.

3 пример. Уравнение (34.2) можно обобщить на случай произвольной термодинамической системы, состояние которой опре-деляется заданием каких-то внешних параметров аъ а2 ап и температуры Т. В этом случае элементарная работа представляется выражением

6Л == Лх йах + ...-{- Л„ dan,

причем величины Л (аъ а2, ап, Т) играют роль обобщенных сил. Если (п — 1) параметров а,-, за исключением одного аи поддерживать постоянными, то останется только один свободный параметр о;. Тогда можно без всяких изменений повторить рассуждения, приведшие нас к формуле (34.2). Роль объема V будет играть параметр at, роль давления — обобщенная сила Л,-. В результате получится

dU__ 1дАг дщ 1 1

Аналогично можно обобщить формулу (34.4). Если ввести обозначения

I = U + A1a1 + A2a2 + ... + Anan, (34.10)

то получится





Формулы (34.9) и (34.11) имеют многочисленные применения.



Автор: Диков Александр Дата: 2010-05-17 00:57:39 Просмотров: 608


Комментарии отсутствуют


 

Добавить комментарий:


Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи

 

    Репетиторы, математика, русский язык, физика, сдать ЕГЭ, ЕГЭ 2012, тестирование ЕГЭ, ответы по ЕГЭ, репетитор, карта сайта,


    Все права защищены и принадлежат авторам размещающих материалы на сайте. Данный сайт ни какой ответственности за размещенный материал не несет. Копирование материалов возможна только с указанием URL ссылки на исходный материал.