Repetitor.Biniko.com
   Образовательный портал


Бесплатный каталог репетиторов
Новости   Профессии   Блоги
Вопросы и ответы   Форум
On-line тестирование






 
Главная
Поиск
Новости
Статьи
Профессии
ЕГЭ - Россия
ВНТ - Украина
ЕНТ - Казахстан
ЦТ - Беларусь
Блоги
Репетиторы
Вопросы и ответы
On-line тестирование
Форум

 




Регистрация:

  Учителя
  Учащиеся
Логин:    Пароль:   


Блоги

Категория: Физика

64. Броуновское движение

64. Броуновское движение



1. Результаты, изложенные в предыдущем параграфе, нашли блестящее экспериментальное подтверждение в явлении броуновского движения. Это явление было открыто в 1827 г. английским ботаником Броуном (1773—1858) во время испытания только что вошедших тогда в употребление ахроматических объективов. Оно заключается в том, что все мельчайшие частицы, взвешенные в жидкости, находятся в непрерывном дрожании. Это движение никогда не прекращается. В кювете, закрытой со всех сторон (во избежание испарения), его можно наблюдать днями, месяцами, годами. Оно обнаруживается в жидких включениях кварца, которым насчитывается тысячи лет. Движение вечно и самопроизвольно.

Броуновское движение в жидкости тем оживленнее, чем меньше вязкость жидкости. Его едва удается подметить в глицерине, а в газах оно, напротив, чрезвычайно интенсивно. Перрену удалось наблюдать броуновское движение капелек, лежащих на черных пятнах мыльных пузырей (т. е. на самых тонких участках мыльной пленки). Диаметр этих капелек в 100—1000 раз больше толщины мыльной пленки. Броуновским движением перпендикулярно к пленке можно пренебречь, но в плоскости самой пленки оно происходит чрезвычайно интенсивно (почти так же, как в газе). В одной и той же жидкости броуновское движение происходит тем интенсивнее, чем меньше размеры броуновских частиц. Интенсивность движения увеличивается с повышением температуры жидкости. От материала самих частиц броуновское движение совсем не зависит. Две частицы движутся в одной и той же жидкости совершенно одинаково, если одинаковы их размеры и форма: ни вещество частиц, ни его плотность не играют здесь никакой роли.

Движения броуновских частиц, расположенных даже весьма близко друг к другу, совершенно независимы, так что о каких-либо течениях, т. е. конвективном происхождении движения, не может быть речи. Броуновское движение вызывается толчками, испытываемыми взвешенными частицами со стороны окружающих молекул, совершающих тепловое движение. Толчки никогда в точности не уравновешивают друг друга. В каждый момент времени частица движется в определенном направлении. Спустя короткое время направление равнодействующей силы ударов со стороны окружающих молекул меняется, и частица начинает двигаться в другом направлении. Таким образом, под влиянием ударов молекул окружающей среды скорость броуновской частицы непрерывно и беспорядочно меняется по величине и направлению. Это и есть броуновское движение. Любопытно отметить, что Лукреций (в поэме О природе вещей) предвидел и описал это явление, но, конечно, не имел возможности его наблюдать.

2. Формула (63.5) лежит в основе количественной теории броу-новского движения. Если бы можно было измерить мгновенную скорость броуновской частицы, то по этой формуле можно было бы вычислить постоянную Больцмана k, а по ней и число Авогадро

N ж . Попытки таких измерений предпринимались, но неизменно

приводили к противоречивым результатам. Дело в том, что практически невозможно точно измерить мгновенную скорость частицы V. Если измерить расстояние между двумя положениями броуновской частицы и разделить его на время т, которое она затрачивает на прохождение из одного положения в другое, то таким путем получится скорость порядка нескольких микрометров в секунду. Это дает для кинетической энергии движения броуновской частицы величину, примерно в 105 раз меньшую, чем следует. Как бы мал ни был промежуток времени т, путь броуновской частицы между рассматриваемыми положениями не прямолинеен, а очень запутан. Он состоит из громадного множества зигзагов, непрерывно и беспорядочно следующих один за другим.

Проверка молекулярно-кинетического объяснения броуновского движения и вычисление из этого явления постоянных k и N стали возможными лишь после того, как в 1905 г. Эйнштейн разработал математическую теорию броуновского движения, в которую мгновенная скорость броуновской частицы не входит. Вместо нее входит длина прямолинейного отрезка, соединяющего положение частицы в два различные момента времени, — величина, доступная измерению на опыте. Любопытно отметить, что при разработке своей теории Эйнштейн ничего не знал о существовании броуновского движения. Он предсказал это явление и построил его полную количественную теорию. Польский физик Мариан Смолуховский (1872—1917) в 1906 г. независимо от Эйнштейна также построил количественную теорию броуновского движения, хотя его окончательная формула и является приближенной — она отличается от формулы Эйнштейна численным коэффициентом порядка единицы. Приведем здесь упрощенный вывод формулы Эйнштейна. В § 93 будет приведен другой вывод, близкий к выводу самого Эйнштейна.

3. Будем считать, что броуновская частица имеет форму шарика радиуса а. Рассмотрим движение ее в жидкости. Если небольшой шар радиуса а равномерно движется в жидкости со скоростью V, то, как показывают опыт и теория, на него действует сила сопротивления F, пропорциональная скорости V. Коэффициент пропорциональности в формуле

V = BF (64.1)

называется подвижностью частицы. Для шарообразной частицы

подвижность была теоретически вычислена Стоксом (1819—1903),

который нашел 1

В— бзх^а (64.2)

где т) — коэффициент внутреннего трения жидкости. Таким образом, подвижность сферической частицы обратно пропорциональна ее радиусу. Она может быть измерена по скорости установившегося движения частицы под действием силы тяжести (точнее, под действием разности силы тяжести и архимедовой подъемной силы). Достаточно измерить подвижность для какой-либо одной крупной частицы. Если радиус ее равен а0, а подвижность В0, то подвижность

частицы радиуса а найдется по формуле В = В0.

Уравнение движения броуновской частицы в направлении

оси X имеет вид i

Мх = — -- х + Х.

Первое слагаемое в правой части есть регулярная сила трения, обусловленная движением броуновской частицы со скоростью х. Второе слагаемое X учитывает беспорядочно действующие толчки, которым подвергается броуновская частица со стороны окружающих молекул. В сущности, и первое слагаемое — сила трения — также обусловлено толчками молекул. Однако, если частица уже движется, то в среднем толчки, действующие против движения, сильнее толчков, действующих в направлении движения. Это обстоятельство и учитывается слагаемым —х/В. Слагаемое же X есть сила толчков, которая действовала бы на частицу, если бы она была неподвижна. Среднее значение такой силы равно нулю.

Умножим предыдущее уравнение на х и преобразуем его, пользуясь следующими тождествами:

^ х2 = 2хх; х2 = 2х2+2хх.

at at2

Получим

М 2 + тг А% Г - = 2Хх. dr В dt

Будем отсчитывать координату х от положения частицы, которое она занимала в момент времени t — 0. Напишем предыдущее уравнение для каждой из множества тождественных броуновских частиц, сложим и разделим на число всех частиц. Короче говоря, усредним предыдущее уравнение по всем частицам. Ввиду хаотичности молекулярного движения (Хх) = 0. Далее, согласно формуле (63.5), (Мх2) = kT. Поэтому

М % (х2) + ± | (х2) - 2kT = 0. (64.3)

4. Нет необходимости решать это уравнение в общем виде. Логичнее пойти по более короткому пути. Докажем, что средний квадрат смещения броуновской частицы (х2) пропорционален времени t. Для этого заметим, что все положения броуновской частицы и все моменты времени совершенно равноправны. Отсюда следует, что смещение броуновской частицы за время t2 — tt между двумя моментами времени tt и /2 есть случайная функция только разности t2 — tlt не зависящая ни от tlt ни от t2. Слово случайная означает, что эта функция еще не определяется значением аргумента t2 — tv При одном и том же значении t2 — tt смещение частицы может принимать любые значения, но с различной вероятностью. Аргументом t2 — tx определяются не сами смещения, а их вероятности. Смещения мы будем обозначать Х/г_/„ т. е. будем писать аргумент t2 — tt в виде индекса. Ясно, что сумма смещений частицы за два последовательные промежутка времени — от 0 до t и от / до t -f- т — равна смещению ее за время от 0 до / -+- т, т. е.

xt+x == Xf--Xx.

Возведем это соотношение в квадрат, усредним и примем во внимание, что (х,хх) = 0. Тогда получим

=+<4>.

Усредненная величина (xt) есть, очевидно, обычная регулярная функция аргумента t, однозначно определяющаяся значением этого аргумента. Обозначая ее / (t), запишем предыдущее соотношение

В ВИДе fit + r) = f{t)+f(r).

Из этого функционального уравнения следует, что / (/), т. е. (xf), есть линейная однородная функция времени t, что и требовалось доказать. Доказанное, очевидно, справедливо для броуновских частиц любой формы, а не только сферических. Итак, должно быть (Л-2) = At. Постоянная А определится подстановкой этого выражения в уравнение (64.3). В результате получится

(x2)=2kTBt. (64.4)

Это и есть формула Эйнштейна ). В ней х означает смещение частицы только в одном избранном направлении (принятом нами за направление оси X), т. е. х есть проекция полного смещения г на это направление. Очевидно г2 = х2 + у2 -+- г2- Усредняя и принимая во внимание, что (х2) = (у2) = (г2), получим (/2) = = 3 (х2). Поэтому формулу Эйнштейна можно также записать в виде

(r2) = 6kTBt. (64.5)

) Заметим, что формула, выведенная Смолуховским, отличается от фор-мулы Эйнштейна (64.4) только тем, что вместо множителя 2 стоит множитель 64/27.

5. Формула (64.4) была со всей возможной тщательностью подтверждена экспериментально французским физиком Жаном Пер-реном (1870—1942) в ряде работ, начатых в 1908 г. Перрен отмечал через равные промежутки времени (t = 30 с) последовательные положения одной какой-либо определенной броуновской частицы в поле зрения микроскопа и соединял эти положения прямолинейными отрезками. Мы воспроизводим один из оригинальных рисунков Перрена (см. рис. 46). На нем описанным способом зафиксированы пути трех броуновских частиц. Длина 16 клеток рисунка составляет 50 мкм, диаметр броуновской частицы равен 0,53 мкм. Конечно, приведенный рисунок дает только отдаленный намек на причудливые изломы действительной траектории частицы. Если бы, например, нанести положения частицы через промежутки времени, в 100 раз более мелкие, то каждый прямолинейный отрезок на рисунке заменился бы соответствующей зигзагообразной ломаной, которая была бы столь же сложна, как и весь рисунок. Отсюда ясно, насколько безнадежно найти истинную скорость броуновской частицы по длине прямолинейного отрезка, проходимого ею за определенный, даже очень короткий, промежуток времени. На рисунке легко измерить проекции рассматриваемых перемещений броуновской частицы на какое-либо направление, например, на горизонтальную ось координатной сетки. После этого можно вычислить значение среднего квадрата смещения (х2) и по формуле





ii— --<

7 1 V t- к

1 i —>

-л- A

St:

V-

V

f ■



Рис. 46.



(64.4) найти постоянную Больцмана k и число Авогадро N. Перрен получил для этих постоянных значения, согласующиеся в пределах ошибок измерений с другими методами.



Автор: Диков Александр Дата: 2010-05-17 01:10:24 Просмотров: 1641


Комментарии отсутствуют


 

Добавить комментарий:


Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи

 

    Репетиторы, математика, русский язык, физика, сдать ЕГЭ, ЕГЭ 2012, тестирование ЕГЭ, ответы по ЕГЭ, репетитор, карта сайта,


    Все права защищены и принадлежат авторам размещающих материалы на сайте. Данный сайт ни какой ответственности за размещенный материал не несет. Копирование материалов возможна только с указанием URL ссылки на исходный материал.