Repetitor.Biniko.com
   Образовательный портал


Бесплатный каталог репетиторов
Новости   Профессии   Блоги
Вопросы и ответы   Форум
On-line тестирование






 
Главная
Поиск
Новости
Статьи
Профессии
ЕГЭ - Россия
ВНТ - Украина
ЕНТ - Казахстан
ЦТ - Беларусь
Блоги
Репетиторы
Вопросы и ответы
On-line тестирование
Форум

 




Регистрация:

  Учителя
  Учащиеся
Логин:    Пароль:   


Блоги

Категория: Физика

59. Давление газа с точки зрения молекулярно-кинетической теории

59. Давление газа с точки зрения молекулярно-кинетической теории



1. Молекулы взаимодействуют друг с другом посредством моле-кулярных сил. На далеких расстояниях — это силы притяжения, убывающие с увеличением расстояния, на близких — силы отталкивания, быстро возрастающие при сближении молекул. Расстояние между центрами сблизившихся молекул, на котором силы притяжения переходят в силы отталкивания, принимается за диаметр молекулы. В газах при нормальных условиях средние расстояния между молекулами еще велики по сравнению с их диаметрами. На таких расстояниях молекулярные силы очень слабы и не играют существенной роли. Молекулярные силы проявляются лишь на близких расстояниях порядка диаметров молекул. Под действием этих сил скорости сблизившихся молекул претерпевают значительные изменения как по величине, так и но направлению. Взаимодействия молекул на близких расстояниях называют столкновениями. Между двумя последовательными столкновениями молекула газа движется практически свободно, т. е. прямолинейно и равномерно. При каждом столкновении молекула газа почти мгновенно меняет направление своего движения, а затем движется с новой скоростью опять прямолинейно и равномерно, пока не произойдет следующее столкновение. Если газ в целом находится в покое (например, заключен в закрытом сосуде), то в результате столкновений устанавливается хаотическое движение, в котором все направления движения молекул равновероятны. Оно называется тепловым движением. Чем более разрежен газ, тем длиннее средний путь, проходимый молекулой между двумя последовательными столкно-вениями. Для достаточно разреженного газа, заключенного в сосуд, можно в первом приближении пренебречь размерами молекул и столкновениями их друг с другом. Надо учесть только столкновения молекул со стенками сосуда, в который газ заключен. В этом при-ближении молекулы газа могут рассматриваться как материальные точки, не взаимодействующие между собой и движущиеся прямолинейно и равномерно между каждыми двумя последовательными столк-новениями со стенками сосуда. Такая простейшая модель приводит к законам идеальных газов. Чтобы показать это, надо выяснить моле-кулярный смысл давления, температуры и внутренней энергии газа.





2. Давление газа на стенку сосуда есть результат ударов мапе-кул газа об эту стенку. При каждом ударе молекула газа действует на стенку с определенной (с макроскопической точки зрения бесконечно малой) силой. Обратно направленная сила, с которой действует на молекулу стенка сосуда, заставляет молекулу отражаться от стенки. Если бы в сосуде содержалось всего несколько молекул, го пх удары следовали бы друг за другом редко и беспорядочно, п нельзя было бы говорить ни о какой регулярной силе давления, действующей на стенку. Мы имели бы дело с отдельными практически мгновенными бесконечно малыми толчками, которым время от времени подвергалась бы стенка. Если же число молекул в сосуде очень велико, то будет велико и числе ударов их о стенку сосуда. Удары станут следовать непрерывно друг за другом. Одновременно о стенку сосуда будет ударяться громадное количество молекул. Бесконечно малые силы отдельных ударов складываются в конечную и почти постоянную силу, действующую на стенку. Эта сила, усредненная по времени, и есть давление газа, с которым имеет дело макроскопическая физика.

3. Вычислим давление газа на стенку сосуда. Пусть газ заключен в закрытый сосуд, и все молекулы одинаковы. Вообще говоря, они дви-жутся с различными скоростями, отличающимися друг от друга как по величине, так и по направлению. Разделим все молекулы на группы так, чтобы молекулы одной и той же группы в рассматриваемый момент времени имели приблизительно одинаковые по величине и направлению скорости. Скорость молекул i-й группы обозначим Vi, а число таких молекул в единице объема — /7,. Возьмем на стенке сосуда малую площадку о (рис. 43). Если молекулы движутся по направлению к площадке о, то они могут столкнуться с ней. Если же они движутся от площадки, то столкновений не будет. Предположим, что молекулы г-й группы движутся ио направлению к площадке а, и подсчитаем число г; молекул такой группы, ударяющихся об эту площадку за малое время dt. Построим на площадке а, как на основании, косой цилиндр с обра-зующими Vidt, расположенный внутри сосуда. Всякая молекула i-й группы, находящаяся в этом цилиндре, за время dt успеет достигнуть площадки а и удариться о нее. Поэтому число ударов г,-будет равно числу молекул г-й группы внутри построенного цилиндра, т. е. Zi = n;dV, где dV — объем цилиндра. Направим координатную ось X вдоль внешней нормали к площадке о. Тогда высота цилиндра будет равна vixdt, а его объем dV = ovixdt. Следовательно,

Zi = atiiVix dt.

Дальнейший ход вычислений зависит от характера взаимодействия ударяющихся молекул со стенкой. Обычно при вычислениях считают, что стенка гладкая, а молекулы при ударе отражаются от нее зеркально, т. е. по законам удара идеально упругих шаров: абсолютная величина скорости при отражении не изменяется, угол падения равен углу отражения. Затем доказывается, что эти предположения не являются существенными. Однако в действительности стенка сосуда для ударяющейся молекулы не может быть идеальным зеркалом — ведь она сама состоит из молекул. Благодаря этому молекулы i-й группы после отражения будут иметь, вообще говоря, самые разнообразные по величине и направлению скорости, направленные от стенки, и распределятся по различным скоростным группам. Поэтому мы проведем дальнейшие вычисления, не вводя никаких специальных предположений относительно законов отражения молекул от стенки сосуда. Единственное предположение, которое будет и пользовано в вычислениях, состоит в том, что при отражении от стенки молекула в среднем не теряет и не приобретает кинетическую энергию. В дальнейшем будет показано, что это предположение означает, что температура газа должна быть равна температуре стенки. Для целей вычисления процесс взаимодействия молекулы со стенкой удобно мысленно разбить на два этапа. На первом этапе молекула замедляется и останавливается, как бы прилипая к стенке. Иа втором этапе молекула отталкивается стенкой, ускоряется и отскакивает от нее. Вычислим сначала силу F, которая действовала бы на площадку о со стороны газа, если бы весь процесс взаимодействия молекул газа со стенкой ограничивался только первым этапом, т. е. в предположении, что после ударов молекулы газа как бы прилипают к стенке. Молекулы i-ii группы, ударившиеся о площадку о за время dt, до удара обладали количеством движения г,р; == — atiiVixPidt, где р, — количество движения одной молекулы. Чтобы остановить эти молекулы, стенка должна действовать на них с силой//, импульс которой равен f[dt —Gnplxpidt. Изменив направление вектора fl на противоположное, мы найдем силу /; = — ft = on;Vixpj, с которой действуют на площадку о молекулы i-й группы на первом этапе. Сила действующая на эту площадку со стороны всего газа, найдется суммированием этих выражений но всем группам молекул, летящих по направлению к стенке (для них vix > 0), т.е.



v. >0 ix

К силе F] следует прибавить силу F, которая действует на площадку о на втором этапе. Сила F, вполне аналогична силе отдачи, испытываемой орудием при выстреле. Роль снаряда играют молекулы, летящие от площадки о, т. е. молекулы, для которых vix <; 0.

Сила F2 равна



V. - U i.v -

Разделение взаимодействия на два этапа, конечно, является только искусственным вычислительным приемом. На самом деле силы Fy и F2 действуют одновременно и складываются в одну результирующую силу

F= Fx + /2 = о У] niVixpi.

Здесь суммирование производится уже по всем группам молекул, летящим как к стенке, так и от нее.

Сила F направлена нормально к площадке о. Это является следствием хаотичности теплового движения молекул. Действительно, составляющая силы F в направлении оси Y равна





Ввиду хаотичности теплового движения среди слагаемых входящей сюда суммы встретится примерно столько же положительных членов, сколько и отрицательных. В среднем положительные слагаемые будут скомпенсированы отрицательными, так что сумма обратится в нуль. То же справедливо и для составляющей Рг. Этого не будет только для нормальной составляющей Fx, представляемой суммой



все члены которой существенно положительны, так как знаки проекций i(-.v и pix всегда одинаковы. Разделив слагающую Fx на площадь о, получим давление газа на стенку сосуда:

Р =^£iriivixplx.

Это выражение можно упростить, если ввести среднее значение произведения vxpx. Сумма таких произведений для молекул газа, находящихся в единице объема, равна ^ iuvixpix. Чтобы найти среднее, надо эту сумму разделить на общее число молекул п в единице объема. Это дает

(vxpx) = -п ]У ntvlxpix (59.1)

(угловые скобки означают усреднения по совокупности всех молекул). Давление Р теперь можно представить в виде

P = n{vxPx). (59.2)

По определению скалярного произведения

юр = VXPX -Ь Vypy + VzPi.

Усредняя это соотношение, получим

(vp) = (vxps) + (vypy) + {veP;).

При хаотическом движении, каковым является тепловое движение

молекул газа, все направления скоростей молекул равновероятны,

а потому j

(vxpx) = (v„py) = (v,cpz) = у (vp). (59.3)

Это дает



Р = - п (юр).



(59.4)



Если объем сосуда, в котором заключен газ, равен V, а полное число молекул в этом объеме равно /V, то п = N/V. Подставляя это значение в предыдущую формулу, пачучим



PV = ^ /V (vp).



(59.5)



4. При выводе формул (59.4) и 59.5) не учитывались столкнове-

ния молекул друг с другом. Для не слишком плотных газов меж-

молекулярные столкновения практически не влияют на оконча-

тельный результат. При столкновениях молекулы переходят лишь

из одной скоростной группы в другую. Состав каждой скоростной

группы поэтому быстро и непрерывно меняется. Но для вычисления

давления Р несущественно, какие именно индивидуальные моле-

кулы входят в каждую скоростную группу. Существенны лишь

средние числа молекул в группах. Если состояние газа — устано-

вившееся, что должно предполагаться при выводе формул (59.4)

и (59.5), то среднее число молекул в каждой из скоростных групп

остается неизменным. Остается в среднем неизменной и сумма

Yini(viPi)> а с неи и Давление газа Р.

Однако столкновения вносят качественные изменения в физическую интерпретацию давления Р. Пока не было столкновений, молекулы газа совершенно не взаимодействовали друг с другом. Величина Р имела только один смысл: она давала давление газа иа стенку сосуда. При наличии столкновений появляется силовое взаимодействие между макроскопическими частями газа. Роль стенки для любой макроскопической части газа может играть граничащая с ней другая макроскопическая часть того же газа. В этих условиях величина Р имеет также смысл внутреннего давления, посредством которого осуществляется силовое взаимодействие между примыкающими друг к другу макроскопическими частями газа. Именно такой смысл имеет давление Р в гидродинамике и аэродинамике.

5. Формулы (59.4) и (59.5) применимы как к нерелятпвистским,

так и к релятивистским движениям молекул. В случае нереляти-

вистских движений масса молекулы т может считаться постоянной.



§ eoj СКОРОСТИ ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВЫХ МОЛЕКУЛ 193

Полагая в формулах (59.4) и (59.5) р = mv, получим для этого случая

Р = ^пт(гл), (59.6)

PV = jNm(v). (59.7)

При выводе этих формул молекулы рассматривались как бес-структурные материальные точки. Не принималось во внимание вращение молекул, а также внутримолекулярное движение. При столкновениях могут меняться скорости вращения молекул. Молекула может перейти в возбужденное состояние, или из возбужденного состояния вернуться в нормальное. Но все эти процессы не играют роли, когда речь идет о вычислении давления газа. Существенно только изменение поступательного количества движения молекулы при столкновениях ее со стенкой. Оно равно массе молекулы, умноженной на изменение скорости ее центра масс. Поэтому формулы (59.6) и (59.7) остаются в силе. Надо только понимать под v скорость поступательного движения молекулы (точнее, ее центра масс). Таким образом, формуле (59.7) можно придать вид

PV= |<£пост>, (59.8)

где (/inner) — среднее значение суммы кинетических энергий по-ступательного движения всех молекул газа. При столкновениях энергии вращательного и внутримолекулярного движений могут переходить в энергию поступательного движения и наоборот. Однако в установившемся состоянии среднее значение величины ЕтсТ остается неизменным.

Формула (59.8), как ясно из ее вывода, справедлива не только для однородного газа, но и для смеси различных газов. В этом случае под ЕПОСТ по-прежнему следует понимать сумму кинетических энергий поступательного движения молекул всех газов, содержащихся в сосуде. Из вывода ясно также, что для нашей модели газа, состоящей из невзаимодействующих молекул, справедлив закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме парциальных давлений этих газов.



Автор: Диков Александр Дата: 2010-05-17 01:08:18 Просмотров: 7032


Комментарии отсутствуют


 

Добавить комментарий:


Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи

 

    Репетиторы, математика, русский язык, физика, сдать ЕГЭ, ЕГЭ 2012, тестирование ЕГЭ, ответы по ЕГЭ, репетитор, карта сайта,


    Все права защищены и принадлежат авторам размещающих материалы на сайте. Данный сайт ни какой ответственности за размещенный материал не несет. Копирование материалов возможна только с указанием URL ссылки на исходный материал.