Repetitor.Biniko.com
   Образовательный портал


Бесплатный каталог репетиторов
Новости   Профессии   Блоги
Вопросы и ответы   Форум
On-line тестирование






 
Главная
Поиск
Новости
Статьи
Профессии
ЕГЭ - Россия
ВНТ - Украина
ЕНТ - Казахстан
ЦТ - Беларусь
Блоги
Репетиторы
Вопросы и ответы
On-line тестирование
Форум

 




Регистрация:

  Учителя
  Учащиеся
Логин:    Пароль:   


Блоги

Категория: Физика

56. Задача об остывании полупространства

56. Задача об остывании полупространства



1. Пусть однородная среда започняет полупространство, ограниченное пло-скостью х 0. В начальный момент времени /--- 0 температура среды всюду одинакова и равна Г„. Температура на поверхности среды все время поддержи-вается постоянной и равна Тл ф /„. Таким образом, в начальный момент на гра-нице среды температура испытывает скачок. Требуется найти распределение температуры Т (х, t) в среде во все последующие моменты времени. Эта задача была поставлена и решена В. Томсоном. Она является типичной краевой задачей, к которой применима теорема единственности, доказанная в § 54.

Направим ось А внутрь среды перпендикулярно к ее границе. Распределение температуры описывается уравнением теплопроводности (52.0). Чтобы найти его решение, удовлетворяющее требуемым начальным и краевым условиям, Еоспольпемся сначала методом размерности. Задача состоит в нахождении связи между переменными Т, х. t и параметрами Т„, Тл, у_. Как видно из уравнения (52.ii), коэффициент температуропроводности у имеет размерность квадрата длины, деленного на время. Учитывая это, нетруцио стандартным способом показать, что из шести величин Т, х, t, Т0, Тл, у можно составить только три независи-

Т Т, х

мые безразмерные комбинации, например, , , .,—- - Согласно правилу раз-

о о V

мерности распределение температуры в среде может быть записано в виде функ-циональной связи между этими безразмерными комбинациями. Но вторая из них ТуТп есть просто постоянное число, и следовательно, может не учитываться при написании искомой функциональной связи. Таким образом, должно быть

1 г L , Та Vytj

или

Г-/(?). (56.1)

где введено обозначение

1 = -±=. 156.2)

V у/



Подставляя эти значения в уравнение (52.6), получим после сокращения

й — (56.3)

at,

v - - 21 d,

Обозначая дифференцирование по t штрихом и разделяя переменные, запишем это уравнение в виде

df

илн



Интегрирование дает:

/= Ае".

Интегрируя вторично и имея в вид>, что / = Т, получим



21 tt

Т=А e-^dl + B. о

Остается найти постоянные интегрирования А и В. Полагая х — 0, / ф О, полу-чаем Т В. Таким образом, постоянная В дает температуру поверхности среды во все моменты времени t фО. По условию задачи она постоянна и равна Ту. Для определения постоянной А воспользуемся начальным условием: Т = Та при / = 0. Это дает

л

Та=А e-d% + Tv о

В интегральном исчислении доказывается, что входящий сюда интеграл равен ^ | л. Таким образом, Т0= - J я -{-Ту. Окончательное решение задачи имеет вид

21 yt

"2l^fi± + (56-4)



о

Из этой формулы дифференцированием по х получаем значение температурного градиента

ОТ То—Ту - 4у дх ( :v/t

(56.6)

В частности, на поверхности среды, т. е. при х — 0

дТ _Тр-Т дх У zvft

Если по формуле (55.9) ввести сюда скорость распространения тепловых волн v с периодом т, то получится

- = 2^1. (56.7)

дх v it

2. Формула (56.7) интересна в том отношении, что с ее помощью Томсон вычислил возраст Земли. В то время считалось, чго первоначально Земля находилась в огненно-жидком состоянии. В недрах Земли происходили интенсив-ные процессы перемешивания, приводившие к выравниванию температур. При-ближенно можно было считать температуру Земли одной и той же во всех ее точ-ках. Поэтому задача об остывании Земли аналогична рассмотренной нами задаче об остывании полупространства. Сферичность Земли не может играть существен-ной роли, если нас интересует температурный градиент внутри тонкого поверх-ностного слоя Земли. В этом случае можно воспользоваться формулой (56.7) без всяких изменений. По мере остывания Земли образовывалась твердая земная кора. Начало этого процесса и принимается за момент времени, от которого отсчитывается возраст Земли. Томсон предположил, что коэффициент температу-ропроводности Земли все время оставался постоянным, и для вычисления воз-раста Земли t воспользовался формулой (56.7). Как мы уже говорили, на глубине 20 н более метров на температуру Земли уже ие оказывают влияния тем-пературные колебания окружающей атмосферы. Измерения показали, что иа таких глубинах темпераtvpa повышается приблизительно на 1 при углублении на каждые 25 м. Далее, Томсон условно принял, что температура поверхности Земли Т] равна 0 С, а в качестве Та взял температуру затвердевания горных пород: Та =: 4000 С. Если за период т взять одни сутки, то, как мы видели, набпотения дают t>= 1 м.сутки. Подставляя эти значения в формулу (56.7), получим

, 4|Г0-Г1Г- 4-40002

4|Г0-Г,Г- 4 ■ 40002

.. !дтг ( 1 V2

Ы

Приведенная оценка дает сильно заниженное значение .для возраста Земли. Это и понятно. Томсон не учитывал и не мог учитывать интенсивное выделение тепла в недрах Земли в результате происходящих в ней радиоактивных процессов. Кроме того, модель огненно-жидкой Земли не согласуется со многими фактами и в настоящее время не считается правильной. В настоящее время не существует общепризнанной геории происхождения Земли. А без такой теории трудно гово-рить об определенном возрасте Земли.



Автор: Диков Александр Дата: 2010-05-17 01:07:27 Просмотров: 752


Комментарии отсутствуют


 

Добавить комментарий:


Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи

 

    Репетиторы, математика, русский язык, физика, сдать ЕГЭ, ЕГЭ 2012, тестирование ЕГЭ, ответы по ЕГЭ, репетитор, карта сайта,


    Все права защищены и принадлежат авторам размещающих материалы на сайте. Данный сайт ни какой ответственности за размещенный материал не несет. Копирование материалов возможна только с указанием URL ссылки на исходный материал.