Repetitor.Biniko.com
   Образовательный портал


Бесплатный каталог репетиторов
Новости   Профессии   Блоги
Вопросы и ответы   Форум
On-line тестирование






 
Главная
Поиск
Новости
Статьи
Профессии
ЕГЭ - Россия
ВНТ - Украина
ЕНТ - Казахстан
ЦТ - Беларусь
Блоги
Репетиторы
Вопросы и ответы
On-line тестирование
Форум

 




Регистрация:

  Учителя
  Учащиеся
Логин:    Пароль:   


Блоги

Категория: Физика

54. Нестационарные задачи. Теорема единственности

54. Нестационарные задачи. Теорема единственности



1. Будем предполагать, что среда, в которой распространяется тепло, однородна, т. е. все параметры среды х, р, cv не зависят от координат. Будем считать также, что они не зависят от времени и температуры, т. е. являются постоянными. Когда температура Т зависит только от одной пространственной координаты х и времени, уравнение теплопроводности при наличии источников тепла имеет вид (52.8), или с учетом (52.3)

Рс°§ = +
Плотность мощности источников тепла q должна считаться заданной функцией координаты и времени. Но заданием источников решение уравнения (54.1) еще пе определяется однозначно. К нему необходимо добавить так называемые начальные и граничные условия. Типичные начальные и граничные условия состоят в следующем.

Начальное условие определяет температуру во всем теле в какой-то один момент времени, который удобно принять за начало отсчета времени. Это условие можно записать в виде

Tl4t=f(x). (54.2)

где f (х) — заданная функция координаты х. Граничные условия определяют температуру тела иа границе тела во все моменты времени. В одномерном случае тело имеет вид плоскопараллелыюй пластинки, ограниченной плоскостями х = 0 и х = /. Поэтому граничные условия запишутся в виде

7v-o=
где фх (/) и ф2 (/) — заданные функции времени.

2. Единственность решения сформулированной краевой задачи обусловлена тем, что коэффициент температуропроводности % есть величина существенно положительная. Для доказательства един-ственности решения допустим, что уравнение (54.1) имеет два решения: ТЛ (х, t) и Т2 (х, /), удовлетворяющие начальному условию (54.2) и краевым условиям (54.3). Тогда





Вычитая почленно и вводя обозначение 6 = Тг — Т2, получим

50 (54 4)



т. е. функция 0 (х, 0 удовлетворяет уравнению теплопроводности без источников. Кроме того, ясно, что эта функция удовлетворяет нулевым начальным и граничным условиям:

6,_0=0 при любых х, (54.5)

ед о о,

при любых t. (54.6)

ед._,=о



Рассмотрим интеграл / (/) = ^ в2 dx. Ясно, что он не может быть

б

отрицательным. Кроме того, ввиду (54.5), / (0) = 0. Найдем производную интеграла / (/) по времени:



dl dt

■-2К-свл.

о о

Интегрируя по частям, получим

^sii-^tijv.

о

Первое слагаемое в правой части обращается в нуль ввиду граничных условий (54.6). Второе слагаемое отрицательно или нуль,

так как %>0. Таким образом, ^y^sO- С течением времени интеграл / может только убывать или оставаться постоянным. Первое невозможно, так как должно быть / (0) = 0, / (/) 5= 0. Остается единственная возможность dl dl = 0, т. е. / (г) = const = / (0) — 0. Зто возможно тогда и только тогда, когда G (А-, /) =0, т. е. 7 (л-, t) = = То (х, i) Единственность решения доказана.

Рассуждая так же, легко показать, что теорема единственности справедлива и для задач со сферической или цилиндрической сим



метрией. Она остается справедливой и для тел произвольной формы, когда Т зависит от всех трех пространственных координат. Дока-зательство проводится так же, только вместо простых интегралов надо пользоваться объемными и поверхностными интегралами. Это доказательство выходит за пределы нашего курса.

Если каким-либо способом удается найти или угадать решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее требуемым начальным и граничным условиям, то теорема единственности позволяет утверждать, что это и будет искомым решением задачи. Примеры на использование этого метода будут приведены в § 56.

3. Могут быть и такие задачи, в которых единственность решения обусловлена другими причинами. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Два теплоизолированных тела 1 и 2 с равными температурами соединены между собой однородным теплопроводящим стержнем, боковая поверхность которого также теплоизолирована. Начальные температуры тел равны соответ-ственно Tw и Tw. Требуется найти закон изменения температуры этих тел во вре-мени.

где S — площадь поперечного сечения стержня, / — его длина. Этот поток чис-ленно равен скорости убывания — dQjdt тепла в теле 1 пли скорости приращения 2-dQJdt тепла в теле 2. Считая теплоемкости С, и С2 постоянными, можно написать Qj = С{ГЪ Q2 = С2Т„. Это приводит к уравнениям

C.lTl nSTl-T Cl dt - ^ I

(54.7)

dt I

В такой формулировке задача содержит еще слишком много неопределенного. Л ля устранения неопределенности предположим прежде всею, что теплопро-водность обоих тел очень велика (математически — бесконечно велика). Тогда выравнивание температур между различными частями тел будет происходить практически мгновенно. Поэтому в каждый момент времени г можно ввести опре-деленные температуры Тл (t) и Т2 (г), характеризующие тела 1 и 2 в целом. Но этого еще недостаточно, чтобы задача стала полностью определенной. Необходимо еще ввести дополнительно некоторые предположения относительно стержня. Поток тепла через поперечное сечение стержня будет зависеть от начального распределения температуры в нем. Если начальная температура стержня равна 70, то на границе с телом 1 в стержне в начальный момент времени не будет никакого теплового потока, тогда как на границе с телом 2 поток тепла будет максимальным. Если стержень имел промежуточную температуру между Т10 и Т20, то начальный поток тепла будет как-то меняться вдоль стержня от сечения к сечению. Допустим, однако, что теплоемкость стержня пренебрежимо мала по сравнению с теплоемкостями тел Сг и С2. По истечении некоторого времени в стержне возникает равномерное падение температуры, при котором поток тепла пе будет изменяться вдоль стержня. За это время температуры тел 1 и 2, ввиду больших значений их теплоемкостей, практически не изменятся. Поэтому от про-цесса установления потока тепла в стержне можно отвлечься и считать, что с самого начала поток тепла вдоль стержня один и тот же во всех его сечениях. Тогда задача становится математически определенной, т. е. однозначной. Допустим для определенности, что 7 > Г. Поток тепла вдоль стержня от тела 1 к телу 2 равен





Почленное сложение уравнений (54.7) дает



dTi

dt



dT2 dT



или после интегрирования СХТХ -Н С27, = const. Это уравнение выражает со-хранение общего количества тепла, содержащегося в телах 1 и 2. В начальный момент 7 = 70, Т2 — Т20, а потому

ClTl+C2T2 = ClTlo+C2T20. (54.8)

Этого уравнения недостаточно для определения неизвестных Т и Т2. Для нахож-дения недостающего уравнения разрешим уравнения (51.7) относительно произ-водных dTjdt и dTJdt и вычтем почленно из одного уравнения другое. Тогда получим

dt

d(Tx-T2) Тх-Т2

(54.9)

где введено обозначение



1 _ KS / 1 1 т I Ci С2 /



(54.10)



Постоянная Г имеет размерность времени. Интегрируя уравнение (54.9), получим



Тх-Т2=Ае



Разность температур 7 —■ Т% убывает во времени по экспоненциальному закону. За время х эта разность убывает в е раз. Поэтому т характеризует время установ-ления теплового равновесия между телами 1 и 2. Оно называется временем релаксации или временем выравнивания температур рассматриваемых тел. Постоянная интегрирования А найдется из начальных условий: Тх = T1Q, Тг = Т20 при t — 0. Это дает

t

(54.11)

TiТг— (Т$ — Too)е т-Решая теперь систему уравнений (54.8) и (54.11), найдем

t

Сг + С2

с,

Ct7,10-f-C2720 С2

(Tiu— Тоо)е

(54.12)

Ci+C2 Ci7,i0 + C2720

Ci-

При t ^> т экспоненциальные члены в этих выражениях пренебрежимо малы, и формулы (54.12) переходят в общеизвестное выражение, определяющее тем-пературу смеси.

ЗАДАЧИ

1. Определить толщину льда, образующегося в течение заданного времени на спокойной поверхности озера. Считать, что температура Т окружающего воздуха все время постоянна и равна температуре наружной поверхности льда (Т < Тпл, где Тпя — температура плавления льда).

Решение. Обозначим буквой х толщину образовавшегося слоя льда к моменту времени t. Если замерзание идет не очень быстро, как это в действи-тельности имеет место в естественных условиях, то в слое льда установится



линейное падение температуры от Т„л до Т. В этом случае тепло, уходящее наружу от единицы поверхности льда за время dt, представится выражением

—-dt.

X

Но ту же величину можно представить в виде q pdx, где dx — толщина слоя льда, образовавшегося за время dt, р — плотность льда, q — удельная теплота плавления льда. Это приводит к уравнению

Т — Т

и -я dt = op dx.

х

Умножая на х к интегрируя, получим

{Тпя-Т)1= J qpx + A.

У?

Примем за начало отсчета времени момент, когда образование льда на поверх-ности воды только что началось. Тогда х — 0 при t = 0, а потому А = 0. В результате получим

-2iT(7WM. (54.13)

qp

Для льда и -2,22-105 эрг/(с-см-К), с/=3,35-10е эрг/г, р = 0,9 г/см3. Допустим, что температура окружающего воздуха равна —10 С. Пользуясь этими данными, нетрудно вычислить, что за сутки (t = 86 400 с) образуется слон льда толщиной х d 11,3 см.

2. Сферический кусок льда (с начальным радиусом R0 = 1 см) погружен в большую массу воды с температурой 10 1С. Предполагая, что теплопередача в жидкости связана только с ее теплопроводностью, определить время т, в течение которого лед полностью растает. Теплопроводность воды х = 6- 10:i Вт/(см-К)> удельная теплота плавления льда q — 330 Дж/г.

Р с ш е н и е. Если таяние льда идет не очень быстро, то мгновенное рас-пределение температуры в окружающем воде будет таким же, что и в стационар-ном случае при тех же граничных значениях температуры. Согласно (53.2) оно в рассматриваемом случае имеет вид

inrhf. -- dt = 4nxR (Tco- T0) dt.





где R — мгновенное значение радиуса куска льда, Т0 и Т, — постоянные тем-пературы воды на поверхности шара и в бесконечности (но условию задачи Т.. — Т0 = 10 К). Количество тепла, поступающее к шару от окружающей воды за время dt, равно

dT

dr

Это тепло идет на расплавление льда и потому может быть также представлено выражением

— q dm = — 4nR2p3q dR. Приравнивая оба выражения, получим

x(Tm-T0)dt=e-93qRdR. Отсюда интегрированием находим искомое время таяния льда



Автор: Диков Александр Дата: 2010-05-17 01:06:44 Просмотров: 1109


Комментарии отсутствуют


 

Добавить комментарий:


Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи

 

    Репетиторы, математика, русский язык, физика, сдать ЕГЭ, ЕГЭ 2012, тестирование ЕГЭ, ответы по ЕГЭ, репетитор, карта сайта,


    Все права защищены и принадлежат авторам размещающих материалы на сайте. Данный сайт ни какой ответственности за размещенный материал не несет. Копирование материалов возможна только с указанием URL ссылки на исходный материал.