Repetitor.Biniko.com
   Образовательный портал


Бесплатный каталог репетиторов
Новости   Профессии   Блоги
Вопросы и ответы   Форум
On-line тестирование






 
Главная
Поиск
Новости
Статьи
Профессии
ЕГЭ - Россия
ВНТ - Украина
ЕНТ - Казахстан
ЦТ - Беларусь
Блоги
Репетиторы
Вопросы и ответы
On-line тестирование
Форум

 




Регистрация:

  Учителя
  Учащиеся
Логин:    Пароль:   


Блоги

Категория: Физика

53. Простейшие стационарные задачи на теплопроводность

53. Простейшие стационарные задачи на теплопроводность



Все задачи на теплопроводность могут быть разделены на ста-ционарные и нестационарные. Стационарными называются такие задачи, в которых температура Т не меняется во времени. Она является функцией только пространственных координат. В этом случае д 77 dt — 0. В одномерных задачах Т зависит только от одной пространственной координаты, так что отпадает надобность в символе для частных производных. Рассмотрим простейшие стационарные одномерные задачи.

1. Стационарное распределение температуры в бесконечной плос-

копараллельной пластинке. Допустим, что имеется бесконечная

пластинка толщины /, поверхности которой поддерживаются при

постоянных температурах 7 и 7Л. Требуется найти распределение

температуры Т внутри такой пластинки. Примем за ось X прямую,

перпендикулярную к пластинке. Начало координат поместим на

плоскости 1, ограничивающей пластинку. Коэффициент теплопро-

водное! п и может зависеть от координаты х. Уравнение (52.4) пере-

ходит в

d ! йТ л

т.К 7 1=0.

dx dx)

Нз него следует, что х dTdx = const, или, ввиду (52.3), / = const. Постоянство плотности потока тепла справедливо независимо от того, однородна пластинка или нет. Рассмотрим теперь простейший случай однородной пластинки. В этом случае коэффициент х постоянен, а потому dT dx = const. Обозначая постоянную буквой А и интегрируя, получим

Т = Л + /3,

где В — вторая постоянная интегрирования. Температура поперек пластинки меняется с координатой х по линейному закону. Постоянные А и В совершенно не зависят от коэффициента теплопроводности. Они определяются пз граничных условий. При х — 0 должно быть Т = 7, а при х = I Т = Т.,. Зто приводит к системе уравнений

7 = /3, Т-- = А1 + В.

Определив из нее постоянные А а В, найдем распределение температуры:

Г = У,-Г. X+Ti (53 1)



2. Стационарное распределение температуры между двумя кон-

центрическими сферами. Обозначим радиус внутренней сферы гг,

а внешней — г.,. Пространство между сферами заполнено средой,

коэффициент теплопроводности которой может зависеть от г. Из



(52.11) следует, что при отсутствии в среде источников тепла рас-пределение температуры описывается уравнением

d / „г!Т п

ЧГу™ ЧГ) = 0-

Оно дает хгЧТМг = const. Таким образом, плотность потока тепла j = —х dTIdr меняетсяобратно пропорционально квадрату расстояния г. Так и должно быть, так как поток тепла через сферу радиуса г равен 4лг2/, а этот поток должен быть одним и тем же для всех сфер. Допустим теперь, что среда между сферами однородна. Тогда коэффициент х будет постоянен, а потому г dTidr = const. Обозначая постоянную — Л, получим dTldr = —А/г2, или после интегрирования

Т =А- + В.

г

Постоянные интегрирования А и В определятся из значений, которые принимает температура Т на границах сферического слоя. Это приводит к системе уравнений:

Tt = y- + B, Ts = -+B.

Определив нз нее постоянные Л и В, находим распределение темпера-туры между сферами:

Y г2Т2— ГТ . гхг2 (7 — Т2) g

Г2— Гх г 2—Гх г I

3. Стационарное распределение температуры между двумя кон-центрическими бесконечно длинными цилиндрами. Радиус внутреннего цилиндра обозначим г,, внешнего — г.,. Температуры их под-держиваются при постоянных значениях 7 и Т.,. Стационарное распределение температуры между цилиндрами находится так же, как и в предыдущем случае. Если среда между цилиндрами однородна, то получается



1п 1п -

Гх Гх

ЗАДАЧИ

1. Урановый шар радиуса R = 10 см, помещенный в сосуд с водой, облучается равномерным потоком нейтронов. В результате реакций деления ядер урана в шаре выделяется энергия q ^ 100 Вт/см3. Температура воды Т = 373 К, теплопроводность урана к — 400 Вт/(м-К-с). Найти стаищюнарное распределение температуры в шаре, а также температуру в его центре.

Решение. В стационарном случае dT/dt = 0. В этом случае после одно-кратного интегрирования уравнения (52.11) (q ^ const) получим

dT а , С



Постоянная интегрирования С должна равняться нулю, так как в противном случае в центре шара мы почучили бы бесконечное значение для производной dTldr. Интегрируя вторично с учетом граничного условия Т = 70 при г = R, найдем



Температура в центре шара

^=7-0 + ^=790 К.

2. По однородному цилиндрическому проводу без изоляции течет постоянный электрический ток. Определить стационарное распределение температуры в проводе, если его поверхность поддерживается при постоянной температуре Те.

Ответ. Т = Го-г-^.,^ (Р? — ")> где 7 — сила тока, р—удельное со-противление провода, R — радиус провода, г — расстояние до его оси. Все ве-личины выражаются в единицах системы СГС.



Автор: Диков Александр Дата: 2010-05-17 01:06:22 Просмотров: 1936


Комментарии отсутствуют


 

Добавить комментарий:


Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи

 

    Репетиторы, математика, русский язык, физика, сдать ЕГЭ, ЕГЭ 2012, тестирование ЕГЭ, ответы по ЕГЭ, репетитор, карта сайта,


    Все права защищены и принадлежат авторам размещающих материалы на сайте. Данный сайт ни какой ответственности за размещенный материал не несет. Копирование материалов возможна только с указанием URL ссылки на исходный материал.